Навіщо пакувати кулі: практичне застосування математичного відкриття українки В'язовської

ЗАДАЧА СТОЛІТЬ. ЯК УПАКУВАТИ КУЛІ?

Щоб пояснити задачу «Про пакування куль» спершу треба визначитися з виміром.

Задачу пакування кіл у двовимірному просторі (на площині) майже кожна людина вирішує з дитинства. Наприклад, коли ліпить вареники, точніше вирізає з тіста кола за допомогою склянки. Тоді  задача полягає в тому, щоб залишилось якнайменше тіста. Тобто ви обираєте оптимальне розміщення кіл на площині — це розташування ще називають «бджолині соти». Сфери, вписані у «бджолині соти» і є оптимальним пакуванням у двовимірному просторі — це єдиний варіант.

Задачу пакування кіл у двовимірному просторі (на площині) майже кожна людина вирішує з дитинства screenshot з відео

Сфери в одно-вимірному просторі (вони ж точки на прямій лінії) — завжди пакуються щільно.

У тривимірному просторі (наприклад, у коробці) все складніше. Існує нескінченна кількість варіантів пакувань. Найскладніше тут — визначити кількість сфер, які торкаються до однієї сфери у цьому просторі, їх ще називають kissing number — число поцілунців.

У тривимірному просторі існує нескінченна кількість варіантів пакувань screenshot з відео

Один з варіантів пакування у тривимірному просторі - пакування у коробці

Задача пакування куль у тривимірному просторі була сформульована з досить практичними цілями.

Розвиток корабельної артилерії в 16 столітті поставив перед моряками завдання – як скласти до трюму корабля найбільшу кількість гарматних ядер. Одного разу відомий англійський мандрівник сер Волтер Релі звернувся з таким проханням до знайомого математика Томаса Герріота. Сер Релі тоді навряд чи міг знати, що його питання стане однією з найвідоміших задач в математиці, над якою ламатимуть голови найкращі вчені, аж до Ісаака Ньютона.

Англійський мандрівник, дослідник, державний діяч Сер Волтер Релі ( 1552 або 1554 – 1618 рр.) портрет сера Волтера Релі з Національної портретної галереї в Лондоні, автор невідомий

Товариш Геріотта, астроном Йоган Кеплер, припустив, що найщільніший спосіб упаковки куль і так застосовується. Це інтуїтивно найзручніший спосіб, коли нижній шар ядер просто складають поруч одне з одним, а наступні — у поглиблення на стиках куль нижнього шару. Але математично довести правильність цього припущення не виходило.

Німецький математик і астроном Йоганн Кеплер (1571 – 1630 рр), ліворуч, та його англійський колега Томас Герріот ( 1560-1621 рр.) портрет Томаса Герріота, автор невідомий; копія втраченого оригіналу портрета Йоганна Кеплера з монастиря бенедектинців у Кремзі

Гіпотеза залишалася недоведеною аж до 1998 року, коли математик Томас Гейлс за допомогою комп’ютера перебрав усі можливі варіанти її доведення. Розв’язання вийшло дуже складним, викладеним на 300 сторінках тексту з використанням 50 000 рядків програмного коду. Але припущення підтвердилося. І задача для тривимірного простору була розв’язана.

Якщо ж припустити, що в просторі не три, а більше вимірів, складність розв’язання задачі зростає.

Першим, хто розв’язав задачу у багатовимірному просторі стала українка Марина В’язовська. Причому – двічі. Самостійно — у восьмивимірному просторі та у співавторстві, — у 24-вимірному. Розв'язання В'язовської назвали «приголомшливо простим». Воно займає лише 23 сторінки.

Марина В’язовська виросла в Києві, де закінчила природничо-науковий ліцей № 145 та механіко-математичний факультет Київського університету ім. Шевченка. У 2010-му вона захистила кандидатську дисертацію в Інституті математики Національної Академії наук. Навчатися далі переїхала до Німеччини. В 2013-му здобула ступінь доктора природничих наук у Боннському університеті.

Тепер, розповідаючи про те, що на її думку допомогло з відкриттям, Марина не применшує заслуги саме української школи:

«Я досі вважаю, що в Україні дуже гарна традиція математичної освіти у школах. І коли я вчилася, і зараз. Однак, крім всього, потрібна також і вдача, везіння опинитися в правильному місці в правильний час», — додає вона.

Марина згадує, що під час роботи постійно мала надію на те, що задачу розв’язати можливо, хоча остаточно впевненою так і не була. Коли з’явився розв’язок, вона одразу знайшла ще й кілька способів сама себе перевірити. Все зійшлося. Тільки тоді прийшла впевненість.

«Це як будувати будиночок з карт: доки не покладеш останню, все ще може розсипатися»

Міркуючи над тим, чому нікому в світі до неї не вдалося розв’язати задачу, українка вважає, що просто мала з’явитися нестандартна ідея.

«Хтось мав стати першим. Цього разу так вийшло, що це була я. Звісно, треба бути і працелюбним, і наполегливим, бо якщо просто чекати натхнення, то саме нічого не прийде», — каже Марина.

Вона розповідає, що насправді такі задачі і є її роботою. Часто складно пояснити людям, яке практичне застосування цієї роботи, чи математики загалом:

«Математика – це дуже м’яка сила. Мотивацією в роботі не є якесь конкретне застосування», — пояснює вчена.

І, хоча складати ядра в трюми вже не так актуально, математичні рішення, зокрема й ті, які запропонувала Марина, знаходять застосування у написанні кодів для передачі сигналів для мобільного зв’язку, Інтернету чи космічних апаратів.

Восьмивимірний простір використовується для передачі даних на різні відстані. Завжди, коли передаються дані з однієї точки в іншу, є якісь перешкоди. Що таке взагалі дані? Це передача набору якихось цифр. Восьмивимірний простір — це по суті набір восьми чисел.

Чому розв’язання задачі із пакування сфер важливе для передачі даних? Завжди є перешкоди, тож при передачі даних (набору чисел) з однієї точки в іншу ми не знаємо, що ми отримаємо в кінці. Саме тому треба розбивати числа на групи. І розмежовувати їх. Тобто упакувати сфери максимально щільно, бо для передачі сигналу витрачається енергія, яка є дорогою. Марина В’язовська уточнювала оцінку щодо щільності пакування, поки не з’ясувала точне її значення.

«СПОДІВАЮСЯ, В МАЙБУТНЬОМУ ДОСЯГНУТИ ЧОГОСЬ НЕ МЕНШ ЦІКАВОГО»

Ставлення колег після розв’язання задачі до неї не змінилося — переконує Марина. А от уваги ЗМІ таки додалося:

«Для математика це взагалі щось нетипове і незвичайне. Хоча насправді добре було б, якби більше намагалися розібратися в тому, що таке сучасна наука і як вона працює. В українському просторі, я думаю, цього не вистачає», — каже вона.

На основі роботи Марини В’язовської, вчені Генрі Кон, Абінав Кумар, Стівен Д. Міллер, Данило Радченко та сама Марина В’язовська опублікували аналогічний результат для 24-вимірного простору.

Уваги ЗМІ до Марини після отримання премії додалося Фото: The Hausdorff Center for Mathematics, University of Bonn

Коли розмова доходить до реалізації науковців в Україні, Марина важко зітхає, перш ніж відповісти. Та все ж, зберігає надію, що з часом все зміниться на краще:

«Багато науковців залишаються і працюють в Україні, але ми всі розуміємо, що це не той рівень життя, який мав би бути. Хочеться вірити, що все вийде. Ведеться все більше дискусій про реформування освіти, є законопроекти, які вносять самі науковці. Але поки що, звісно, питання фінансування стоїть дуже гостро. Його ніяк не можна обійти. Неможливо мати добру науку та освіту, не витрачаючи на це грошей. Так не буває», — констатує вона.

На завершення питаємо, чи Марина пов’язує себе в майбутньому з роботою Україні. Каже, що було б цікаво. Але про конкретні проекти говорити ще рано. Так само обережно вона коментує і плани щодо майбутніх відкриттів:

«Правильною мотивацією для наукової роботи має бути внутрішня логіка, а не бажання сенсацій чи слави. Але працювати я продовжую і сподіваюся, те, чого в мене вийде досягнути в майбутньому буде не менш цікавим».